Предположим У нас есть значения квантилей:
\[\begin{align*} q_{0.05}&=f(0.05,\theta)\\ q_{0.5}&=f(0.5,\theta)\\ q_{0.95}&=f(0.95,\theta)\\ \end{align*}\]Также у нас есть мат. ожидание \(E[\theta]\), которое является первым параметром распределения.
Тогда введя функцию ошибки, мы можем провести её минимизацию, и получить значение второго недостающего параметра:
\[\begin{align*} k_1\cdot(q_{0.05}-f(0.05,\theta))^2+k_2\cdot(q_{0.5}-f(0.5,\theta))^2 + k_3\cdot(q_{0.95}-f(0.95,\theta))^2 \end{align*}\]при
\[k_1=k_2=k_3=const\]Ниже представлен код на Python, выполняющий подгонку параметра под квантили для нескольких вероятностных распределений.
import numpy as np
from scipy.stats import gamma, beta, lognorm, norm
from scipy.optimize import minimize_scalar
def distr_fit(distr_type ,quantiles, probabilities, expectation, k=1, bounds=np.array([10*-3, 10**3])):
# Задаём функцию ошибки
func = {
'gamma': lambda x:
(k*(gamma.ppf(quantiles, a=x, scale=expectation/x)-probabilities)**2).sum(),
'beta': lambda x:
(k*(beta.ppf(quantiles, a=x, b=x/expectation-x)-probabilities)**2).sum(),
'lognorm': lambda EF:
(k*(lognorm.ppf(quantiles, s=np.log(EF)/1.6449, scale = expectation)-probabilities)**2).sum(),
'norm': lambda sigma:
(k*(norm.ppf(quantiles, loc=expectation, scale=sigma)-probabilities)**2).sum()
}.get(distr_type, None)
if func is None: return None
# Минимизируем функцию ошибки по одному параметру
res = minimize_scalar(func, bounds=bounds, method='bounded')
# Возвращаем параметр
return res.x
в ПО RiskSpectrum даются ограничения на параметры:
- Both for gamma and beta distributions the shape parameter \(\alpha\) is limited to be \(0.1 \leq \alpha \leq 20.0\).
- The error factor (EF) used for lognormal distributions must be \(1 < EF < 10^3\)
- The standard deviation for the normal distribution is limited to be less than approximately 60.8% of the mean value. If the standard deviation is higher, a considerable tail of the distribution extends out on the negative domain, which cannot be allowed for any of the parameter types. Actually, distributions with 0% and 1% percentiles lower than 0 are accepted, but in that case these percentiles are truncated to 0.
